Introduzione

Le variabili aleatorie geometriche descrivono il numero di prove necessarie per ottenere il primo successo in una sequenza di esperimenti indipendenti di tipo Bernoulli (cioè successi/insuccessi).

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1. Definizione

• Ogni prova è indipendente.

• Ogni prova ha probabilità di successo p e di insuccesso 1 − p.

• Si conta quante prove servono fino a ottenere il primo successo.

Se indichiamo con X la variabile aleatoria geometrica:

X=numero di prove fino al primo successo X =numero di prove fino al primo successo

Il dominio è:

$$X∈{1,2,3,… }X \in \{1, 2, 3, \dots\}$$

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2. Funzione di probabilità (PMF)

Per ottenere il primo successo alla prova numero kk:

• Le prime k-1 prove devono essere fallimenti

$$(1−p)k−1(1-p)^{k-1}$$

• L’ultima prova deve essere successo p

Quindi:

$$P(X = k) = (1-p)^{k-1} \, p$$

per

$$k = 1, 2, 3, \dots$$

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3. Media e varianza

• Media (valore atteso)

$$E[X]= \frac{1}{p}$$

• Varianza

$$Var(X) = \frac{1-p}{p^2}$$

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4. Esempio

Supponiamo che:

• p = 0.25 (probabilità di successo = 25%)

• Qual è la probabilità che il primo successo arrivi alla terza prova?

$$P(X = 3) = (1 - 0.25)^{2} \cdot 0.25 = 0.75^2 \cdot 0.25 = 0.140625$$

Quindi circa 14,06%.

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5. Interpretazione pratica

• Bernoulli → 1 prova: successo o insuccesso.

• Geometrica → quante prove servono prima di avere un successo. Esempi:

• Numero di lanci di un dado fino a ottenere un 6.

• Numero di telefonate fino a trovare la prima persona che risponde.

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