Continuous random variables

Funzioni di Densità di Probabilità (PDF)

Le Probability Density Functions (PDF) sono funzioni matematiche utilizzate per descrivere la distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua. A differenza delle variabili discrete (che assumono valori numerabili), una variabile continua può assumere infiniti valori in un intervallo, e la PDF ci dice con quale "densità" questi valori si distribuiscono.

1. Definizione Formale

Una funzione ( f(x) ) è una PDF se soddisfa due condizioni:

$Non negatività: [ f(x) \geq 0 \quad \forall x ]$

$Area totale sotto la curva = 1 (probabilità totale): [ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) , dx = 1 ]$

2. Differenza tra PDF e PMF

Caratteristica

PDF (Variabili Continue)

PMF (Variabili Discrete)

Tipo di variabile

Continua (es. tempo, altezza)

Discreta (es. lanci di dado)

Probabilità in un punto

( f(x) ) non è una probabilità, ma una densità

( P(X = x) ) è una probabilità vera e propria

Calcolo delle probabilità

Si usa l'integrale in un intervallo: $( P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) , dx )$

Si usa la somma: $( P(a \leq X \leq b) = \sum_{x=a}^b P(X = x) )$

⚠️ Attenzione: Per una variabile continua, la probabilità in un singolo punto è sempre zero!

$[ P(X = c) = \int_c^c f(x) , dx = 0 ]$ Quindi ha senso solo calcolare probabilità su intervalli.

3. Esempi di PDF

(1) Distribuzione Uniforme

[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{se } a \leq x \leq b \ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} ]

Esempio: Un rullo da disegno che sceglie un punto casuale tra ( a ) e ( b ).

(2) Distribuzione Normale (Gaussiana)

[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ]

È la PDF più famosa, con forma a "campana".

(3) Distribuzione Esponenziale

$[ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{se } x \geq 0 \ 0 & \text{se } x < 0 \end{cases} ]$

Usata per modellare tempi di attesa (es. durata di una chiamata telefonica).

4. Relazione tra PDF e CDF

La Cumulative Distribution Function (CDF), ( F(x) ), è l'integrale della PDF:

[ F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) , dt ]

La PDF è la derivata della CDF:

[ f(x) = \frac{d}{dx} F(x) ]

Esempio Grafico

PDF f(x)                     CDF F(x)
   ▲                           ▲
   |  /\                        |    / 
   | /  \                       |   /
   |/    \                      |  /
   └───────► x                  └───────► x

5. Come Calcolare Probabilità con la PDF

Per trovare $( P(a \leq X \leq b) ):$ $[ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) , dx = F(b) - F(a) ]$

Esempio

Sia ( X ) una variabile con PDF: $[ f(x) = \begin{cases} 2x & \text{se } 0 \leq x \leq 1 \ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} ]$ Calcolare $[ P = \int_{0.3}^{0.7} 2x , dx = \left[ x^2 \right]_{0.3}^{0.7} = 0.49 - 0.09 = 0.40 ]$