Visualizing a Binomial distribution

Collegamento tra Distribuzione Binomiale e Normale

La distribuzione binomiale (discreta) e la distribuzione normale (continua) sono collegate attraverso un teorema fondamentale:

1. Approssimazione Normale della Binomiale

Quando il numero di prove ( n ) è grande e la probabilità ( p ) non è troppo vicina a 0 o 1, una binomiale

$$\text{Bin}(n, p)$$

può essere approssimata con una normale

$$N(\mu, \sigma^2) ,$$

dove:

• Media:

$$N(\mu, \sigma^2)$$

• Varianza:

$$\sigma^2 = np(1-p)$$

Condizioni per l'approssimazione (Regola Empirica):

$$\boxed{np \geq 5 \quad \text{e} \quad n(1-p) \geq 5}$$

(Se ( p ) è molto piccolo/grande, serve un ( n ) più grande.)

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2. Perché Funziona?

• Teorema del Limite Centrale (TLC): Sommando molte variabili indipendenti (le prove di Bernoulli), la distribuzione converge a una normale.

• La binomiale è una somma di ( n ) variabili di Bernoulli ( Xi ) (0 o 1):

$$X = X_1 + X_2 + \dots + X_n \sim \text{Bin}(n, p) ]$$

$$n \to \infty , ( X )$$

diventa approssimativamente normale.

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3. Come Si Usa l'Approssimazione?

1. Standardizzazione: Trasformare la binomiale in una normale standard ( Z ):

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}$$

1. Correzione di Continuità: Poiché la binomiale è discreta e la normale è continua, si aggiusta l'intervallo:

$$P(X \leq k) \approx P\left(Z \leq \frac{k + 0.5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$$

Esempio:

$$( X \sim \text{Bin}(100, 0.3) ), calcolare ( P(X \leq 35) ).$$

• Media:

$$\mu = 100 \times 0.3 = 30$$

• Deviazione standard:

$$\sigma = \sqrt{100 \times 0.3 \times 0.7} = \sqrt{21} \approx 4.58$$

• Con correzione di continuità:

$$[ P(X \leq 35) \approx P\left(Z \leq \frac{35 + 0.5 - 30}{4.58}\right) = P(Z \leq 1.20) \approx 0.8849 ]$$

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4. Quando Non Usare l'Approssimazione Normale?

• Se ( n ) è piccolo (es. ( n < 30 )).

• Se ( p ) è molto vicino a 0 o 1 (meglio usare la Poisson per ( p \approx 0 )).

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Grafico di Confronto

(Per ( n ) grande, l'istogramma binomiale assomiglia alla curva normale.)

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Conclusione

• La normale approssima la binomiale per ( n ) grande, con

$$( np \geq 5 ) e ( n(1-p) \geq 5 )$$

• Si usa la standardizzazione + correzione di continuità per calcolare le probabilità.

• Se le condizioni non sono soddisfatte, meglio usare la binomiale esatta o la Poisson.