10 % rule of assuming independence between trials

Spiegazione della Variabile Binomiale e della "10% Rule" per l'Indipendenza

1. Cos'è una Variabile Binomiale?

Una variabile aleatoria binomiale modella il numero di successi in ( n ) prove indipendenti, dove:

• Ogni prova ha due esiti possibili: successo (con probabilità ( p )) o fallimento (con probabilità ( 1-p )).

• Le prove sono indipendenti tra loro.

• La probabilità ( p ) è costante in tutte le prove.

Esempio: Lanciare una moneta ( n = 10 ) volte e contare il numero di "teste" (successi).

• Se ( p = 0.5 ), allora

$$( X \sim \text{Binomiale}(10, 0.5) ).$$

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2. Perché l'Indipendenza è Importante?

Nella definizione della binomiale, l'indipendenza tra le prove è cruciale perché garantisce che il risultato di una prova non influenzi le altre.

Problema: In molti casi reali, le prove non sono perfettamente indipendenti (es.:

• Campionamento senza reinserimento → la probabilità cambia dopo ogni estrazione.

• Esami consecutivi → lo stress di una prova può influenzare la successiva.

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3. La "10% Rule" per Assumere l'Indipendenza

Quando si lavora con popolazioni finite (es. sondaggi, estrazioni senza reinserimento), si può approssimare una binomiale se:

$$\boxed{n \leq 0.1 \times N}$$

dove:

• ( n ) = numero di prove

• ( N ) = dimensione della popolazione

Interpretazione: Se il campione è ≤ 10% della popolazione totale, l'effetto della dipendenza tra le prove è trascurabile, e possiamo usare la binomiale.

Esempio:

• Popolazione: ( N = 1000 ) studenti.

• Campione: ( n = 50 ) studenti (5% di ( N )).

• Regola:

$$( 50 \leq 0.1 \times 1000 ) → ( 50 \leq 100 )$$

→ Possiamo assumere l'indipendenza e usare la binomiale.

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4. Cosa Succede Se la Regola Non Vale?

Se ( n > 0.1N ), la dipendenza tra le prove è significativa, e si deve usare la distribuzione ipergeometrica invece della binomiale.

Esempio:

• Popolazione: ( N = 50 ) biglie (di cui 20 rosse).

• Campione: ( n = 10 ) biglie estratte senza reinserimento.

• Regola: ❌

$$( 10 > 0.1 \times 50 ) → ( 10 > 5 )$$

→ Usare l'ipergeometrica, non la binomiale!

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Conclusione

• La binomiale richiede prove indipendenti e ( p ) costante.

• La 10% Rule permette di approssimare una binomiale quando ( n \leq 10% ) di ( N ).

• Se la regola non vale, usare l'ipergeometrica.

Formula Binomiale:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

Dove usarla? Sondaggi, test ripetuti, lanci di monete/dadi (se ( N ) è grande o reinserimento).