Esercizio su combining normal random variable

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Esercizio :

Problema: Alcune nazioni richiedono che gli studenti superino un esame per ottenere il diploma di scuola primaria. In una certa nazione, i punteggi di questo esame seguono una distribuzione normale con una media di 41 punti e una deviazione standard di 9 punti.

Supponiamo di selezionare 2 studenti a caso e di definire la variabile aleatoria ( D ) come la differenza tra i loro punteggi (in valore assoluto). Assumendo che i punteggi siano indipendenti, qual è la probabilità che i loro punteggi differiscano di più di 15 punti?

Arrotondare il risultato a due decimali.

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Soluzione Passo Passo

1. Definizione delle Variabili

• Siano ( X ) e ( Y ) i punteggi dei due studenti.

$$( X \sim N(41, 9^2) )$$

$$( Y \sim N(41, 9^2) )$$

• La differenza ( D = X - Y ) è una nuova variabile aleatoria.

2. Distribuzione di ( D )

Poiché ( X ) e ( Y ) sono indipendenti e normalmente distribuiti:

$$D = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma_X^2 + \sigma_Y^2)$$

Quindi: [ D \sim N(41 - 41, 9^2 + 9^2) = N(0, 162) ] (La varianza di ( D ) è ( 81 + 81 = 162 ), quindi la deviazione standard è ( \sqrt{162} \approx 12.727 ).)

3. Probabilità che ( |D| > 15 )

Vogliamo trovare: [ P(|D| > 15) = P(D > 15) + P(D < -15) ] Poiché ( D ) è simmetrica attorno a 0, possiamo calcolare: [ P(D > 15) ] e moltiplicarla per 2.

4. Standardizzazione di ( D )

Calcoliamo il punteggio ( z ):

$z = \frac{15 - 0}{\sqrt{162}} \approx \frac{15}{12.727} \approx 1.1785$

5. Uso della Tavola Z (o Calcolatrice)

Cerchiamo ( P(Z > 1.1785) ):

• Dalla tavola, ( P(Z \leq 1.18) \approx 0.8810 ).

• Quindi: [ P(Z > 1.1785) \approx 1 - 0.8810 = 0.1190 ]

Poiché ( P(|D| > 15) = 2 \times P(D > 15) ):

$$P(|D| > 15) \approx 2 \times 0.1190 = 0.2380$$

6. Arrotondamento

Arrotondando a due decimali:

$$P(|D| > 15) \approx 0.24$$

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Risposta Finale

0.24

(La probabilità che i due punteggi differiscano di più di 15 punti è circa 24%.)